Relações com os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral

Transformadas de Fourier e os conceitos de Derivadas e Integrais


É natural se perguntar sobre o efeito de Transformadas de Fourier em derivadas $f^{\prime}(t)$ ou integrais $\int f(t)\, dt$ de funções.
Ainda mais depois do que se aprendeu sobre o efeito das Transformadas de Laplace e de sua grande utilidade no campo das Equações Diferenciais no Curso Transformadas de Laplace e Aplicações.
Há analogias entre os efeitos das duas Transformadas sobre derivadas e integrais:
Dicionário Cálculo - Laplace - Fourier:\[\scriptsize{\begin{array}{|c|c|c|}\hline \mbox{Cálculo}& \mbox{Laplace}& \mbox{Fourier} \\ \hline f^{\prime}(t) & s\cdot L(s) - f(0) & i w \cdot F(w) \\ \hline \int f(t)\, dt & \frac{L(s)}{s} & \frac{F(w)}{i w} \\\hline \end{array}}\]

Mas há também diferenças no alcance das fórmulas e nas hipóteses sob as quais são válidas, que veremos ao longo desta Seção.

Também é natural perguntar se há relações entre a Transformada de Fourier \[\mathcal{F}( t\cdot f(t) )\] e a derivada em $w$ de $F(w) = \mathcal{F}( f(t) )$ (como havia no campo das Transformadas de Laplace).
Reponderemos a essas perguntas nesta Seção, que serve de preliminar à aplicação na Teoria de Ondas da Seção Transformadas de Fourier e Fórmula de D'Alembert para vibrações .




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