Transformadas de Fourier de funções que decrescem rapidamente

Transformada de Fourier de funções de decaimento exponencial


Na Seção Transformada de Fourier e exemplos fundamentais limitados no tempo abordamos funções $f(t)$ que se anulam fora de um intervalo limitado (chamadas de funções limitadas no tempo, "time limited").
Agora vamos tratar de Transformadas de Fourier de funções $f(t)$ que não precisam ser nulas, mas que tendem rapidamente a zero quando $t \to \infty$.
Como a Transformada de Fourier $\mathcal{F}( f(t) )$ usa em integrando uma expressão de norma 1 (que é $e^{- i w t}$), esse tipo de decaimento de $f(t)$ pode garantir a convergência da integral imprópria
\[\mathcal{F}( f(t) ) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, e^{-i w t}\, dt\]
Entre os exemplos importantes desta Seção destacamos a Transformada de Fourier de
\[f(t) = e^{- | t |},\]
cujo gráfico está mostrado na Interação a seguir:

E também a Transformada de Fourier da função gaussiana \[f(t) = e^{-t^2},\] importante em Probabilidade, cujo gráfico está mostrado na Interação a seguir:





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