Funções parecidas com suas Transformadas de Fourier

Transformadas de Fourier de funções de Hermite


Em geral as Transformadas de Fourier $\mathcal{F}( f(t) ) $ têm expressões completamente diferentes da função de partida $f(t)$, por exemplo
\[\mathcal{F}(e^{-|t|} ) = \frac{2}{1 + w^2}\]
Mas nesta Seção mostraremos que:
Há funções que têm a mesma forma de suas Transformadas de Fourier (módulo fatores constantes),

A primeira família de exemplos que abordaremos serão as funções de Hermite, da forma
\[f_n(t) = e^{-\frac{t^2}{2}} \cdot H_n(t)\]

onde $H_n(t)$ são polinômios especiais, chamados de polinômios de Hermite.
Para chegar à conclusão de que as funções de Hermite têm a mesma forma de suas Transformadas de Fourier, mostraremos que:
As funções de Hermite são soluções de equações diferenciais de segunda ordem; essas equações têm a propriedade de não mudar sua forma, quando a elas se aplicam Transformadas de Fourier.

De fato são equações diferenciais importantes, pois estão relacionadas com as equações de Schrödinger da Física Quântica, assim como as funções de Hermite estão relacionadas às funções de onda.
Ao final da Seção veremos que há também uma equação de Cauchy- Euler que não muda com a aplicação da Transformada de Fourier.
Com isso obteremos um argumento simples para mostrar que as Transformadas de Fourier das funções:
\[ f(t) = \frac{1}{\sqrt{| t |}} \quad \mbox{e}\quad f(t) = \frac{\ln( |t| )}{\sqrt{| t |}} \]

têm a mesma forma (módulo constantes).




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