Conceitos abstratos com uso concreto

Transformadas de Fourier de funções periódicas, de Trens de Dirac e Modulações


Existe um alto grau de irrealidade física nas funções senoidais, como $\cos( a t + b)$, $\sin( a\, t + b)$, etc.
Primeiro, porque estão definidas por toda eternidade $t \in \mathbb{R}$ e, segundo, porque sua energia total é infinita:
\[{\small \int_{-\infty}^{+\infty} | \cos( a\,t) | = +\infty \quad\mbox{e}\quad \int_{-\infty}^{+\infty} | \sin( a\,t) | = +\infty}\]
Como as Transformadas de Fourier captam frequências (números de onda), não é tão surpreendente que as Transformadas das funções senoidais estejam "concentradas" no ponto \[w_0 = \frac{a}{2 \pi}\] correspondente à frequência (número de onda) fundamental. E "concentradas" de modo irrealista também, como Deltas de Dirac $\delta( w - w_0)$.
Por outro lado, toda teoria das Séries de Fourier, baseada em funções senoidais, tem inúmeras aplicações práticas no estudo de ondas e sinais, síntese eletrônica de sons e timbres, etc.
Esse é um exemplo de como conceitos teóricos tem aplicações concretas.

Que dizer então da irrealidade física de da "função" chamada de Trem de Dirac (Pente de Dirac) - para $T>0$ fixado e $n\in \mathbb{Z}$ -
\[ \sum_{-\infty}^{+\infty} \delta( t - n \cdot T)\]

Porém, mesmo livros-texto cujo interesse principal são as versões computacionais da Transformada de Fourier tratam dos Trens de Dirac.

Como veremos, os Trens de Dirac materializam-se em noções concretas, como amostragem e periodização. E essas são noções usadas nas versões discretas e computacionais das Transformadas de Fourier - ver a referência Brigham (final da Seção).
Para justificar o importante fato de que:
A Transformada de Fourier de um Trem de Dirac é outro Trem de Dirac,

acionarem conceitos como integrais divergentes, séries infinitas e distribuições, no final desta Seção.




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