Integrais de Produtos que são Produtos de Integrais

Transformadas de Fourier de produto de convolução e produto usual



Toda uma área do Curso Cálculo Integral em uma variável trata de como integrar um produto de funções:
\[\int f(t) \cdot g(t) \, dt\]
e, como se vê na Seção Integração por partes daquele Curso, em geral
\[ \int f(t) \cdot g(t) \, dt \neq \int f(t) \, dt \cdot \int g(t) \, dt \]
As Transformadas de Laplace e as Transformas de Fourier são integrais (bem especiais) e para elas foi definido "sob medida" um produto especial de funções, chamado de produto de convolução, com o qual o "sonho do estudante de Cálculo" se realiza:
As Transformadas dos produtos de convolução resultam em produtos de Transformadas

Há uma pequena diferença na definição de convolução, dependendo do tipo de Transformada:
Definição (Convolução no contexto de Laplace) Para $f, g$ definidas $\forall t \geq 0$:
\[( f*g )(t) = \int_0^{t} f(\tau) \cdot g(-\tau + t) \, d\tau\]

Definição (Convolução no contexto de Fourier) Para $f, g$ definidas $\forall t \in \mathbb{R}$:
\[ (f*g )(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cdot g(-\tau + t) \, d\tau\]

O que veremos nesta Seção é que a Transformada de Fourier funciona ainda melhor que a de Laplace, em relação à convolução:
Convoluções em Laplace e Fourier:\[\scriptsize{\begin{array}{|c|c|}\hline \mbox{Laplace}& \mbox{Fourier} \\ \hline \mathcal{L}(f *g) = \mathcal{L}(f) \cdot \mathcal{L}(g) & \mathcal{F}(f *g) = \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g) \\ \hline ---------- & \mathcal{F}(f \cdot g) = \frac{1}{2 \pi}\cdot \mathcal{F}(f) * \mathcal{F}(g) \\\hline \end{array}}\]onde $--$ indica que não há e onde $ \mathcal{F}(f) * \mathcal{F}(g)$ é convolução no eixo $w$.





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