Transformada de Fourier bidimensional (cartesiana e polar)

Transformada radial de Fourier-Bessel (Hankel) e os discos de Airy



Até agora neste Curso tratamos de funções de uma variável $f(t)$, mas nas Aplicações são imporantes as funções bi ou tri-dimensionais:
Nesta Seção mudamos a notação, de funções $f(t)$ para funções $f(x,y)$, de duas variáveis.

Como estender a noção de Transformada de Fourier
\[F(w) = \mathcal{F}( f(t) ) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{- i\, w\, t}\, dt\]
ao caso bi-dimensional ?

Uma modo natural seria trocar a integral em $t$ por uma integral dupla (de fato, por duas integrais iteradas) em $x,y$; e substituir a variável $w$ (frequência/número de onda) por um par
\[( w_x , w_y),\]
$w_x$ relativa ao eixo $x$ e $w_y$ relativa ao eixo $y$.
Definição (Transformada de Fourier bi-dimensional):
\[{\scriptsize F(w_x, w_y) = \mathcal{F}( f(x,y) ) := \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \cdot e^{- i\, (w_x \, x + w_y \, y)}\, dx \, dy}\]

Em Óptica, frequentemente há fontes de luz ou lentes com formas circulares. Nessas situações é interessante mudar do sistema de coordenadas cartesiano $(x,y)$ para o sistema polar $(r,\theta)$:
\[\begin{cases} r = \sqrt{x^2+y^2}\quad \mbox{e}\quad \theta = \arctan(\frac{y}{x}) ) \\ x = r \, \cos(\theta) \quad \mbox{e}\quad y = r \, \sin(\theta) \end{cases}\]
Nesse caso a Transformada de Fourier bi-dimensional acima pode ser reescrita:
Afirmação 1 (Forma polar da Transformada de Fourier bidimensional): Se $f(x,y) = f( r, \theta)$, então
\[{\small F(w_x,w_y) = F({\scriptsize R}, {\scriptsize \Theta}) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} f(r,\theta) \cdot e^{- i\, R \, r \, \cos(\theta - {\scriptsize \Theta})}\, r\, dr d\theta,}\] onde usamos \[ {\scriptsize R} := \sqrt{w_ x^2 + w_ y^2}\quad \mbox{e}\quad {\scriptsize \Theta} = \arctan( \frac{w_y}{w_x}) \]


No próximo parágrafo vamos analisar a siuação em que em que há simetria circular da função:
Veremos que, se $f= f(r)$ tem simetria circular, então também sua Transformada de Fourier tem simetria circular\[ F({\scriptsize R}) = \mathcal{F}( f(r) )\]
e em sua expressão figura a função de Bessel $J_0$ (de primeira espécie e ordem zero).

Surgem assim as chamadas Transformadas de Fourier-Bessel (ou de Hankel).
Calcularemos essa nova Transformada em exemplos simples, mas de interesse para a teoria Óptica.




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