A partir da Transformada, recuperar a função

A Transformada Inversa de Laplace



Esta Seção segue o sentido inverso da Seção Lista de Transformadas de Laplace justificadas . Lá fazemos um apanhado de Transformadas
\[F(s) = \mathcal{L}(f(t)),\]
partindo de funções $f(t)$ dadas. Aqui vamos começar com a Transformada $F(s)$ e recuperar "a" função $f(t)$.
Definição: Chamaremos $f(t)$ de Transformada Inversa de Laplace de $F(s)$, em símbolos
\[f(t) = \mathcal{L}^{-1}(F(s))\]

No parágrafo final desta Seção vamos explicar em que sentido é única a Transformada Inversa $\mathcal{L}^{-1}(F(s))$.
Devemos observar:
A dificuldade é maior em implementar a operação inversa \[F(s) \mapsto f(t)\] do que operação direta \[f(t) \mapsto F(s) = \mathcal{L}( f(t) )\]

Mais precisamente:
As Interações que apresentaremos calculam algumas Transformadas Inversas que dificilmente seriam calculadas com lápis e papel. Mas podem não alcançar certos resultados que foram justificados conceitualmente neste Curso.
Na Lista a seguir destacamos com o símbolo $ \star$ as Transformadas Inversas que não são detectadas pelas Interações.

\begin{array}{|cccc|}\hline \mbox{n.} & F(s) & f(t) & {\scriptsize\mbox{Observações}} \\ \hline 1. & \frac{1}{s} & 1 & s > 0\\ \hline 2. & \frac{1}{s^2} & t & s > 0 \\\hline 3. & \frac{n!}{s^{n+1}} & t^n &n\in \mathbb{N} \\\hline 4. & c_1\, \frac{m!}{s^{m+1}} + c_2\, \frac{ n!}{s^{n+1}} & c_1 t^m + c_2 t^n &{\scriptsize m,n\in \mathbb{N},c_1,c_2\in \mathbb{R}} \\\hline 5.& \frac{1}{s-a} & e^{a t} & s > a \\ \hline 6. & G(s-a) & e^{a t} \cdot g(t) & {\scriptsize G(s)=\mathcal{L}(g)}\\\hline 7. & \frac{a}{s^2 - a^2} & \sinh( a t ) & s > a \\\hline 8. & \frac{s}{s^2 - a^2} & \cosh( a t ) & s > a \\\hline 9. & \frac{1}{s - i a} & e^{i\, a t} & {\scriptsize i = \sqrt{-1}\in \mathbb{C}}\\ \hline 10. & G( s - i a) & e^{i a t} \cdot g(t) & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)} \\\hline 11. & \frac{a}{s^2 + a^2} & \sin( a t ) & \\\hline 12. & \frac{s}{s^2 + a^2} & \cos( a t ) & \\\hline 13. & \frac{1}{s} & u(t) & {\scriptsize u(t)} \,{\scriptsize\mbox{Degrau unitário}} \\\hline 14\star & \frac{e^{- t_0 s}}{s} & u(t-t_0)& t_0 > 0 \\\hline 15\star & e^{- t_0 s} \cdot G(s) & g(t-t_0)\cdot u(t-t_0) & {\scriptsize G(s) =\mathcal{L}(g)}\\\hline 16\star & e^{- t_0 s} \cdot \mathcal{L}( g(t+t_0) ) & g(t)\cdot u(t-t_0) &\\\hline 17. & \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s^3} + \ldots = \frac{1}{s-1} & e^t & {\scriptsize \mbox{ Termo a termo}}\\ \hline 18. & \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s^4} + \frac{1}{s^6} - \ldots = \frac{1}{s^2+1} & \sin(t) & {\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\ \hline 19. & \frac{1}{s} - \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^5} - \ldots = \frac{s}{s^2 +1} & \cos(t)& {\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\ \hline 20. \star &- \ln (1 - \frac{1}{s} ),\, s > 1 & \frac{e^t - 1}{t} & {\scriptsize\mbox{Termo a termo}}\\ \hline 21\star & \arctan(\frac{a}{s}) & \frac{\sin(a t)}{t} & {\scriptsize\mbox{ Termo a ter.}}\,{\scriptsize s>a>0}\ \\\hline 22\star & - \ln(\frac{s-1}{s+1}) & \frac{\sinh(t)}{t} & {\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\\hline 23\star & e^{\frac{s^2}{4}} \cdot (1 - \mbox{erf}(\frac{s}{2}) ) & \frac{2}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{-t^2} & {\scriptsize\mbox{Não é termo a termo}} \\\hline 24. & {\scriptsize\mbox{Não existe}} & e^{t^2} &\\\hline 25\star & \frac{1}{\sqrt{1+s^2}} & J_0(t)& {\scriptsize s > 1}\,{\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\\hline 26\star & \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{s}} & \frac{1}{\sqrt{t}} & {\scriptsize t, s > 0} \\ \hline 27\star &\frac{ \sqrt{\pi}}{2} \, s^{-\frac{3}{2}} & \sqrt{t} & {\scriptsize t,s > 0} \\ \hline 28\star &\frac{\Gamma( r+1 )}{s^{r+1}} & t^r & {\scriptsize r>- 1,\, s > 0}\\\hline 29. & s\cdot \mathcal{L}(g) - g(0) & g^{\prime}(t) & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 30. & s^2\cdot \mathcal{L}(g(t)) - s\cdot g(0) - g^{\prime}(0) & g^{\prime\prime}(t) & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\\hline 31. & \frac{\mathcal{L}(g)}{s} & \int_0^t g(u)\, du &{\scriptsize\mbox{Consulte}} \\\hline 32\star & \frac{1}{s} \cdot \arctan(\frac{1}{s}) & {\scriptsize\mbox{Si}}(t) := \int_0^t \frac{\sin(u)}{u} \, du & s>0 \\\hline 33\star & \frac{1}{2 s} \cdot \ln( \frac{1 + \frac{1}{s}}{1 - \frac{1}{s} } ) & {\scriptsize\mbox{Shi}}(t) := \int_0^t \frac{\sinh(u)}{u} \, du & s>0 \\\hline 34. & \int_0^{+\infty} G(u)\, du & \frac{g(t)}{t} & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)},\, {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 35. & - \frac{d G(s)}{ds } & t\cdot g(t) & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)},\, {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 36. & \frac{d^2 G(s)}{ds^2 } & t^2 \cdot g(t) & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)},\, {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\\hline 37. & {\scriptsize\mbox{T- Periódica}} & \frac{1}{1-e^{-s T}}\cdot \int_0^{T} f(t) \, e^{- s t}\, dt & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 38. & 1 & \delta( t ) & {\scriptsize\mbox{Delta de Dirac}}\\ \hline 39\star & e^{- t_0 s} & \delta( t - t_0) & {\scriptsize\mbox{Delta de Dirac}} \\ \hline 40. & \mathcal{L}(g_1(t)) \cdot \mathcal{L}(g_2(t)) & g_1(t) * g_2(t) & * \,\, {\scriptsize\mbox{Convolução }}\\\hline 41\star & \frac{1}{ s \sqrt{1 + s} } & \mbox{erf} (\sqrt{t}) & {\scriptsize s>0}\\\hline\end{array}

Podemos destacar que esse constraste entre a facilidade da operação direta e a dificuldade da operação inversa aparece em outras contextos e pode ter utilidade !
Uma aplicação surpreendente dessa assimetria é dada na Seção (Material Suplementar) Códigos secretos baseados em cúbicas do Curso de Cálculo Diferencial em uma variável.
Por uma via indireta, justificaremos na Seção Transformadas de Laplace em Equações Diferenciais Parciais o fato adicional
\[42\star\quad 1 - \mbox{erf}( \frac{a}{ 2 \sqrt{t} }) = \mathcal{L}^{-1}( \frac{e^{- a \sqrt{s} }}{s} )\]
onde $\mbox{erf}$ é a função erro.





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos