Definição: Chamaremos $f(t)$ de Transformada Inversa de Laplace de $F(s)$, em símbolos
\[f(t) = \mathcal{L}^{-1}(F(s))\]

A dificuldade é maior em implementar a operação inversa \[F(s) \mapsto f(t)\] do que operação direta \[f(t) \mapsto F(s) = \mathcal{L}( f(t) )\]

As Interações que apresentaremos calculam algumas Transformadas Inversas que dificilmente seriam calculadas com lápis e papel. Mas podem não alcançar certos resultados que foram justificados conceitualmente neste Curso.
Na Lista a seguir destacamos com o símbolo $ \star$ as Transformadas Inversas que não são detectadas pelas Interações.

\begin{array}{|cccc|}\hline \mbox{n.} & F(s) & f(t) & {\scriptsize\mbox{Observações}} \\ \hline 1. & \frac{1}{s} & 1 & s > 0\\ \hline 2. & \frac{1}{s^2} & t & s > 0 \\\hline 3. & \frac{n!}{s^{n+1}} & t^n &n\in \mathbb{N} \\\hline 4. & c_1\, \frac{m!}{s^{m+1}} + c_2\, \frac{ n!}{s^{n+1}} & c_1 t^m + c_2 t^n &{\scriptsize m,n\in \mathbb{N},c_1,c_2\in \mathbb{R}} \\\hline 5.& \frac{1}{s-a} & e^{a t} & s > a \\ \hline 6. & G(s-a) & e^{a t} \cdot g(t) & {\scriptsize G(s)=\mathcal{L}(g)}\\\hline 7. & \frac{a}{s^2 - a^2} & \sinh( a t ) & s > a \\\hline 8. & \frac{s}{s^2 - a^2} & \cosh( a t ) & s > a \\\hline 9. & \frac{1}{s - i a} & e^{i\, a t} & {\scriptsize i = \sqrt{-1}\in \mathbb{C}}\\ \hline 10. & G( s - i a) & e^{i a t} \cdot g(t) & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)} \\\hline 11. & \frac{a}{s^2 + a^2} & \sin( a t ) & \\\hline 12. & \frac{s}{s^2 + a^2} & \cos( a t ) & \\\hline 13. & \frac{1}{s} & u(t) & {\scriptsize u(t)} \,{\scriptsize\mbox{Degrau unitário}} \\\hline 14\star & \frac{e^{- t_0 s}}{s} & u(t-t_0)& t_0 > 0 \\\hline 15\star & e^{- t_0 s} \cdot G(s) & g(t-t_0)\cdot u(t-t_0) & {\scriptsize G(s) =\mathcal{L}(g)}\\\hline 16\star & e^{- t_0 s} \cdot \mathcal{L}( g(t+t_0) ) & g(t)\cdot u(t-t_0) &\\\hline 17. & \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s^3} + \ldots = \frac{1}{s-1} & e^t & {\scriptsize \mbox{ Termo a termo}}\\ \hline 18. & \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s^4} + \frac{1}{s^6} - \ldots = \frac{1}{s^2+1} & \sin(t) & {\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\ \hline 19. & \frac{1}{s} - \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^5} - \ldots = \frac{s}{s^2 +1} & \cos(t)& {\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\ \hline 20. \star &- \ln (1 - \frac{1}{s} ),\, s > 1 & \frac{e^t - 1}{t} & {\scriptsize\mbox{Termo a termo}}\\ \hline 21\star & \arctan(\frac{a}{s}) & \frac{\sin(a t)}{t} & {\scriptsize\mbox{ Termo a ter.}}\,{\scriptsize s>a>0}\ \\\hline 22\star & - \ln(\frac{s-1}{s+1}) & \frac{\sinh(t)}{t} & {\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\\hline 23\star & e^{\frac{s^2}{4}} \cdot (1 - \mbox{erf}(\frac{s}{2}) ) & \frac{2}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{-t^2} & {\scriptsize\mbox{Não é termo a termo}} \\\hline 24. & {\scriptsize\mbox{Não existe}} & e^{t^2} &\\\hline 25\star & \frac{1}{\sqrt{1+s^2}} & J_0(t)& {\scriptsize s > 1}\,{\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\\hline 26\star & \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{s}} & \frac{1}{\sqrt{t}} & {\scriptsize t, s > 0} \\ \hline 27\star &\frac{ \sqrt{\pi}}{2} \, s^{-\frac{3}{2}} & \sqrt{t} & {\scriptsize t,s > 0} \\ \hline 28\star &\frac{\Gamma( r+1 )}{s^{r+1}} & t^r & {\scriptsize r>- 1,\, s > 0}\\\hline 29. & s\cdot \mathcal{L}(g) - g(0) & g^{\prime}(t) & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 30. & s^2\cdot \mathcal{L}(g(t)) - s\cdot g(0) - g^{\prime}(0) & g^{\prime\prime}(t) & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\\hline 31. & \frac{\mathcal{L}(g)}{s} & \int_0^t g(u)\, du &{\scriptsize\mbox{Consulte}} \\\hline 32\star & \frac{1}{s} \cdot \arctan(\frac{1}{s}) & {\scriptsize\mbox{Si}}(t) := \int_0^t \frac{\sin(u)}{u} \, du & s>0 \\\hline 33\star & \frac{1}{2 s} \cdot \ln( \frac{1 + \frac{1}{s}}{1 - \frac{1}{s} } ) & {\scriptsize\mbox{Shi}}(t) := \int_0^t \frac{\sinh(u)}{u} \, du & s>0 \\\hline 34. & \int_0^{+\infty} G(u)\, du & \frac{g(t)}{t} & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)},\, {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 35. & - \frac{d G(s)}{ds } & t\cdot g(t) & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)},\, {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 36. & \frac{d^2 G(s)}{ds^2 } & t^2 \cdot g(t) & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)},\, {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\\hline 37. & {\scriptsize\mbox{T- Periódica}} & \frac{1}{1-e^{-s T}}\cdot \int_0^{T} f(t) \, e^{- s t}\, dt & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 38. & 1 & \delta( t ) & {\scriptsize\mbox{Delta de Dirac}}\\ \hline 39\star & e^{- t_0 s} & \delta( t - t_0) & {\scriptsize\mbox{Delta de Dirac}} \\ \hline 40. & \mathcal{L}(g_1(t)) \cdot \mathcal{L}(g_2(t)) & g_1(t) * g_2(t) & * \,\, {\scriptsize\mbox{Convolução }}\\\hline 41\star & \frac{1}{ s \sqrt{1 + s} } & \mbox{erf} (\sqrt{t}) & {\scriptsize s>0}\\\hline\end{array}

\[42\star\quad 1 - \mbox{erf}( \frac{a}{ 2 \sqrt{t} }) = \mathcal{L}^{-1}( \frac{e^{- a \sqrt{s} }}{s} )\]
onde $\mbox{erf}$ é a função erro.