Lei de Kirchhoff para Voltagem em circuito RC como Equações Integral ou Diferencial

Aplicação a um Circuito RC


Nesta Seção vamos usar o efeito as Transformadas de Laplace para entender como variam corrente e carga elétricas em um circuito elétrico simples.
A simplicidade refere-se a que o circuito é composto da fonte de força eletromotriz e de apenas um resistor e um capacitor; por isso o circuito é chamado RC (resistor/capacitor).
A Interação a seguir mostra um diagrama de circuito RC (assim como de outros circuitos que estudaremos mais adiante):

Podemos pensar que tanto o resistor como o capacitor tem efeito de oposição à força eletromotriz, expresso na seguinte lei:
Afirmação 1 (Lei de Voltagens de Kirchhoff) Em um circuito fechado RC a soma algébrica das forças eletromotrizes é nula:
\[E(t) - R \cdot i(t) - \frac{1}{C} \cdot q(t) = 0\]
onde $q(t)$ é a carga no capacitor, $i(t) = q^{\prime}(t)$ é a corrente elétrica, $R>0$ é resistência (constante) e $C>0$ é capacitância (constante).


Podemos re-escrever a Lei de Kirchhoff como uma equação diferencial de primeira ordem:
Afirmação $1^{\prime}$ (Lei de Kirchhoff) \[R\cdot q^{\prime}(t) +\frac{1}{C} \cdot q(t) = E(t)\]

Trataremos essa equação da seguinte forma: a função $E(t)$ será dada e a incógnita será a função carga $q(t)$.
Trata-se de uma equação do tipo da Seção Equações diferenciais lineares de primeira ordem a coeficientes constantes do Curso de Equações Diferenciais.
Como \[q(t) = \int_0^t\, i(u) \, du,\]também podemos escrever a Lei como uma equação integral:

Afirmação $1^{\prime\prime}$ (Lei de Kirchhoff)
\[R \cdot i(t) + \frac{1}{C} \cdot \int_0^t\, i(u) \, du = E(t)\]

Trataremos essa equação da seguinte forma: a função $E(t)$ será dada e a incógnita será a função corrente $i(t)$.
Nos próximos parágrafos vamos usar as duas descrições e resolver os dois tipos de equações, implementado as soluções em seguida.




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Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

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