Equação Diferencial da Lei de Kirchhoff em circuito RLC

Transformadas de Laplace e Circuitos RLC


Nesta Seção vamos usar as Transformadas de Laplace para entender como varia a corrente elétrica em um circuito elétrico RLC.
Trata-se de um circuito composto de um resistor, um indutor e um capacitor, além da fonte de força eletromotriz.
A Interação a seguir mostra um diagrama de circuito RLC:

Quando a indutância é nula ($L =0$), o circuito é chamado de RC e foi estudado na Seção Aplicação a um Circuito RC.
Quando a resistência é nula ($R =0$), o circuito é chamado de LC e foi estudado na Seção Aplicação das Transformadas em Circuitos Elétricos LC.
No caso em que a capacitância é nula ($C=0$), o circuito chamado $RL$ será tratado no Questionário desta Seção.
No caso geral $RLC$, podemos pensar que o indutor, o resistor e o capacitor têm efeito de oposição à força eletromotriz, expresso na seguinte lei:
Afirmação 1 (Lei de Voltagens de Kirchhoff): Em um circuito fechado RLC a soma algébrica das forças eletromotrizes é nula:\[E(t) - L \cdot i^{\prime}(t) - R\cdot i(t) - \frac{1}{C} \cdot q(t) = 0\]onde $q(t)$ é a carga no capacitor, $i(t) = q^{\prime}(t)$ é a corrente elétrica, $L>0$ é a indutância, $R$ é resistência e $C>0$ é capacitância (constantes).

Ou seja,
\[ L \cdot i^{\prime}(t) + R\cdot i(t) + \frac{1}{C} \cdot q(t) = E(t) \]


Podemos derivar essa identidade e obter uma equação diferencial de segunda ordem, para a corrente $i(t)$:
Afirmação $1^{\prime}$ (Lei de Kirchhoff): Em um circuito fechado RLC vale \[L \cdot i^{\prime\prime}(t) - R\cdot i^{\prime}(t) - \frac{1}{C} \cdot i(t) = E^{\prime}(t)\]onde $i(t)$ é a corrente elétrica, $L>0$ é a indutância, $R$ é resistência e $C>0$ é capacitância (constantes).

Nos parágrafos a seguir vamos resolver essa equação diferencial através do uso de Transformadas de Laplace e implementar as soluções em gráficos e animações.




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Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

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