Resposta a Estímulo e Resposta Natural

Transformadas de Convoluções em Equações Diferenciais



Na Seção Transformadas de Laplace em Equações Diferenciais a coeficientes constantes definimos:
Definição: A solução do problema de valores iniciais \[\begin{cases} y^{\prime\prime}(t)+ p \cdot y^{\prime}(t) + q\cdot y(t) = u(t),\quad p,q \in \mathbb{R} \\ y(0) = y^{\prime}(0) = 0 \end{cases}\]onde $u(t)$ é a função degrau unitário (Heaviside) é chamada de função resposta indicial, denotada $y_A(t)$.

Também podemos definir:
Definição: A solução do problema de valores iniciais \[\begin{cases} y^{\prime\prime}(t)+ p \cdot y^{\prime}(t) + q\cdot y(t) = \delta(t),\quad p,q \in \mathbb{R} \\ y(0) = y^{\prime}(0) = 0 \end{cases}\]onde $\delta(t)$ é o Delta de Dirac é chamada de função resposta ao impulso unitário e denotada $y_I(t)$.

A resposta ao impulso unitário é também chamada de resposta natural.

Nesta Seção vamos tratar do problema mais geral:
Problema $1$ (Estímulo-Resposta): Chamamos de resposta ao estímulo a solução $y(t)$ de \[\begin{cases} y^{\prime\prime}(t)+ p \cdot y^{\prime}(t) + q\cdot y(t) = r(t),\quad p,q \in \mathbb{R} \\ y(0) = y^{\prime}(0) = 0 \end{cases}\]
onde $r(t)$ é uma função contínua, chamada de estímulo.

Veremos nesta Seção que é possível expressar a resposta ao estímulo em termos de $r(t)$ e:
i) da resposta indicial $y_A(t)$ , do produto de convolução e de derivação, ou
ii) da resposta ao impulso unitário $y_I(t)$ e da convolução.
Estaremos aplicando a noção de convolução, apresentada na Seção O conceito de produto de Convolução.
Interações implementarão as alternativas i) e ii).





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

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