Nem sempre existe a Transformada de Laplace

Existência da Transformada de Laplace e Transformadas de Séries Infinitas de Potências


Não basta que uma função $f(t) > 0$ tenda a zero para que exista (seja convergente) a Integral Imprópria:
\[\int_a^{+\infty} \,f(t)\, dt\]
Por exemplo,
\[\int_1^{+\infty} \,\frac{1}{t} \, dt =+\infty\]
Por outro lado, \[ \int_1^{+\infty} \,\frac{1}{t^2} \, dt = 1 \]
A convergência de $\int_a^{+\infty} \,f(t)\, dt$ depende da velocidade com que $f(t)$ tende a zero.

As Integrais Impróprias que nos interessam neste Curso são as Transformadas de Laplace
\[\mathcal{L}(f(t)) = \int_0^{+\infty} \,f(t)\,e^{-s\, t}\, dt ,\]
onde o integrando é o produto de uma função $f(t)$ por um fator
\[e^{- s\, t},\quad s >0\]
que tende a zero rapidamente. Por isso é de se esperar que existam as Transformadas de Laplace de muitas funções.
Mas não de todas, como mostra o seguinte exemplo:
Exemplo 1: Não existe a Transformada de Laplace da função $f(t)= e^{t^2}$.


Para que se veja como o gráfico de
\[g(t) = e^{t^2}\cdot e^{-4 t}, \quad t\in [0, 4]\]
cresce, veja a Interação a seguir:

No parágrafo a seguir veremos como a Interação que calcula Transformadas se comporta no Exemplo 1.




Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos