Uma discussão Teórica que terá inúmeras Aplicações

Definição da Transformada de Laplace, primeiros exemplos e propriedades


O Curso de Cálculo Integral em uma variável mostrou um fato surpreendente:
Existem regiões infinitas do plano que têm Área finita !

Por exemplo, a Integral Imprópria \[\int_1^{+\infty} \,\frac{1}{t^2} \, dt = 1\]representa a Área de uma região infinita sob o gráfico de $y= \frac{1}{t^2}$. A Interação a seguir mostra apenas o começo da região:

Observação: Mesmo espíritos muito esclarecidos tiveram dificuldade em aceitar (ou não aceitaram !) que regiões infinitas pudessem ter Área finita. Esse é um dos pontos de discórdia entre o filósofo Thomas Hobbes e o matemático John Wallis. Veja por exemplo a referência Jesseph (ao final da Seção).

Esse tipo de fato parece ser apenas mais uma curiosidade teórica.
Porém as aplicações que daremos das chamadas Transformadas de Laplace - que são integrais impróprias - mostrarão como tais conceitos podem ser úteis na prática.
Nos próximo parágrafos veremos mais Exemplos e teremos Interações que calculam integrais impróprias e Transformadas de Laplace





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Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

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