Funções descontínuas na modelagem de fenômenos reais
O Delta de Dirac, degrau unitário e suas Transformadas de Laplace de modo informal
As funções descontínuas modelam fenômenos importantes do dia-a-dia e das ciências em que há saltos abruptos. Por exemplo, quando ligamos ou desligamos um disjuntor, a voltagem e a corrente elétrica mudam abruptamente no circuito elétrico.
Um modo simples de apresentar funções descontínuas consiste em usar funções definidas
por partes (ou condicionais); ou seja, fazendo colagens de diversos gráficos que introduzem saltos abruptos.
A Interação a seguir plota gráficos de funções definidas por um número qualquer de leis diferentes. No exemplo default o gráfico é formado de $3$ partes e apresenta dois pontos de descontinuidade:
Observação: Note que nessa Interação não nos preocupamos em estabelecer se cada intervalo usado é do tipo aberto $(a_i,b_i)$, semi-aberto $[a_i,b_i)$ ou semi-aberto $(a_i,b_i]$. Veremos ao longo da Seção qual a razão desse descaso com a definição dos valores da função nos pontos extremos.
Outros exemplos de mudanças abruptas ou descontínuas no dia-a-dia surgem de uma batida com um taco de beisebol, um chute numa bola, etc.
Nesse exemplos, a velocidade e a direção da bola podem mudar abruptamente. Esses exemplos nos indicam que:
Se quisermos fazer aplicações, precisamos aceitar o uso de funções descontínuas na modelagem dos fenômenos.
Essas funções foram deixadas de lado, ao longo do Cursos de Cálculo Diferencial, pois uma função derivável em um ponto é necessariamente contínua nesse ponto.
Por outro lado, felizmente, diversos fatos do
Cálculo Integral podem ser adaptados para funções descontínuas. Esse é o caso da noção de Área sob um gráfico.
Essa noção de Área exata se expressa como uma Integral e pode ser estendida para gráficos com descontinuidades (fracas ou de primeira espécie), bastando para isso usar a soma das Áreas sob cada gráfico contínuo.
A Interação a seguir mostra a Área entre o eixo horizontal e o gráfico de acima formado de 3 partes:
Também na Teoria de Séries de Fourier - Seção
Introdução às Séries de Fourier do Curso de
Equações Diferenciais - admitimos gráficos descontínuos e os coeficientes de Fourier são de Integrais.
É o que veremos no parágrafo a seguir, no caso de uma função descontínua que é simples, mas fundamental.
Ao longo da seção Interações serão usadas para ilustrar aproximações de novos objetos - as funções generalizadas - por gráficos de funções usuais.
