Funções descontínuas na modelagem de fenômenos reais

O Delta de Dirac, degrau unitário e suas Transformadas de Laplace de modo informal



As funções descontínuas modelam fenômenos importantes do dia-a-dia e das ciências em que há saltos abruptos. Por exemplo, quando ligamos ou desligamos um disjuntor, a voltagem e a corrente elétrica mudam abruptamente no circuito elétrico.

Um modo simples de apresentar funções descontínuas consiste em usar funções definidas por partes (ou condicionais); ou seja, fazendo colagens de diversos gráficos que introduzem saltos abruptos.
A Interação a seguir plota gráficos de funções definidas por um número qualquer de leis diferentes. No exemplo default o gráfico é formado de $3$ partes e apresenta dois pontos de descontinuidade:

Observação: Note que nessa Interação não nos preocupamos em estabelecer se cada intervalo usado é do tipo aberto $(a_i,b_i)$, semi-aberto $[a_i,b_i)$ ou semi-aberto $(a_i,b_i]$. Veremos ao longo da Seção qual a razão desse descaso com a definição dos valores da função nos pontos extremos.

Outros exemplos de mudanças abruptas ou descontínuas no dia-a-dia surgem de uma batida com um taco de beisebol, um chute numa bola, etc.
Nesse exemplos, a velocidade e a direção da bola podem mudar abruptamente. Esses exemplos nos indicam que:
Se quisermos fazer aplicações, precisamos aceitar o uso de funções descontínuas na modelagem dos fenômenos.

Essas funções foram deixadas de lado, ao longo do Cursos de Cálculo Diferencial, pois uma função derivável em um ponto é necessariamente contínua nesse ponto.

Por outro lado, felizmente, diversos fatos do Cálculo Integral podem ser adaptados para funções descontínuas. Esse é o caso da noção de Área sob um gráfico.
Essa noção de Área exata se expressa como uma Integral e pode ser estendida para gráficos com descontinuidades (fracas ou de primeira espécie), bastando para isso usar a soma das Áreas sob cada gráfico contínuo.
A Interação a seguir mostra a Área entre o eixo horizontal e o gráfico de acima formado de 3 partes:

Também na Teoria de Séries de Fourier - Seção Introdução às Séries de Fourier do Curso de Equações Diferenciais - admitimos gráficos descontínuos e os coeficientes de Fourier são de Integrais.
É o que veremos no parágrafo a seguir, no caso de uma função descontínua que é simples, mas fundamental.

Ao longo da seção Interações serão usadas para ilustrar aproximações de novos objetos - as funções generalizadas - por gráficos de funções usuais.





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos