Equações Diferenciais que se transformam em Equações usuais

Transformadas de Laplace em Equações Diferenciais a coeficientes constantes


Nesta Seção a Transformada de Laplace realiza um pequeno milagre:
Sob a ação das Transformadas de Laplace, certas Equações Diferenciais lineares viram Equações lineares usuais.

Descreveremos nesta Seção como resolver essas equações usuais e, depois, como retornar à solução das Equações Diferenciais de partida.
Mais especificamente, o tipo de equações diferenciais que abordaremos nesta Seção são as lineares, de segunda ordem, a coeficientes constantes:
\[ y^{\prime\prime} + p\cdot y^{\prime} + q \cdot y = r(t),\quad p,q, \in \mathbb{R}\]

No Curso de Equações Diferenciais há duas Seções dedicadas a essas equações quando $r(t)\not\equiv 0$ (não identicamente nulo), cf. Seção Método dos coeficientes a determinar para equações diferenciais não-homogêneas e Seção Método de Lagrange de Variação de Parâmetros e o Wronskiano.
Por isso será instrutivo comparar os resultados que obteremos aqui, via transformadas de Laplace, com os resultados daquelas duas Seções.

Daremos aplicações das técnicas aqui desenvolvidas no estudo de Circuitos Elétricos, cf. Seção Aplicação a um Circuito RC , Seção Aplicação das Transformadas em Circuitos Elétricos LC e Seção Transformadas de Laplace e Circuitos RLC.
Equações diferenciais a coeficientes variáveis serão tratadas na Seção Transformada de Laplace de Equações Diferenciais lineares a coeficientes variáveis.
Interações de caráter didático implementarão passo a passo os métodos desta Seção.





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos