Redução de Ordem através da Transformada de Laplace

Transformada de Laplace de Equações Diferenciais lineares a coeficientes variáveis


Na Seção Transformadas de Laplace em Equações Diferenciais a coeficientes constantes as Transformadas realizaram o pequeno milagre de levar equação diferencial em equação usual (linear).
Agora nesta Seção veremos que:
As Transformadas de Laplace podem reduzir a ordem de certas Equações Diferenciais.

Exemplificaremos o processo em equações diferenciais lineares de segunda ordem que têm importância da Física-Matemática.
A primeira aplicação é sobre uma equação de Laguerre:
\[ t\, y^{\prime\prime} +(1- t) \cdot y^{\prime} + 2 y = 0\]
A segunda aplicação é sobre uma Equação de Hermite:\[y^{\prime\prime} - 2 t \cdot y^{\prime} + 2 y = 0 \]
A terceira aplicação é sobre uma Equação de Bessel:
\[t^2 \,y^{\prime\prime} + t\, y^{\prime} + t^2 \, y = 0 \]
Esta última equação faz parte de uma classe que foi detalhadamente estudada na Seção Equação diferencial e funções de Bessel do Curso Equações Diferenciais em mais variáveis e Séries.
Será instrutivo comparar os métodos daquela Seção com os desta.





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos