Sobre Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace de funções periódicas


Existem inúmeros fenômenos físicos que se repetem a cada intervalo de tempo, ou seja, a cada período. Desde as estações do ano, até ondas eletro-magnéticas.
Na Engenharia Elétrica há interesse por funções periódicas simples, que se combinam e superpõem para formar funções complicadas.
Entre as funções periódicas simples estão a onda quadrada, onda triangular, as retificadoras de ondas, etc , que serão estudadas nesta Seção.
Definição: Diremos que uma função $f: [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ é periódica, de período $T$, se
\[f( t + T ) = f(t),\quad \forall t\in [0,+\infty)\]

O período $T$ não é único:
Afirmação 1: Se $T$ é período de $f$ e se $n\in \mathbb{N}$, então $n\, T$ também é período de $f$.


A afirmação a seguir implica que está bem definida a Transformada de Laplace de qualquer função contínua por partes e periódica, de acordo com o critério da Seção Existência da Transformada de Laplace e Transformadas de Séries Infinitas de Potências.
Afirmação 2: Toda função $f: [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ contínua por partes e periódica é também limitada.


No parágrafo seguinte daremos uma expressão geral para as Transformadas de Laplace de funções periódicas. Interações mostrarão quantas cópias se quiser dos gráficos de funções periódicas e calcularão suas Transformadas de Laplace.





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Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

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