Tornar mais compreensível o Delta de Dirac

(Material Suplementar) Fundamentação do Delta de Dirac na Teoria de Distribuições

Na Seção O Delta de Dirac, degrau unitário e suas Transformadas de Laplace de modo informal introduzimos um conceito muito importante na Física-Matemática, a noção de Delta de Dirac, que tem as seguintes características:

\[\begin{cases} \delta( t ) = 0, \quad \forall t \neq 0 \\ \delta (0 ) = +\infty \\ \int_{-\infty}^{\infty} \, \delta(t)\, dt = 1 \end{cases} \]

Apesar do sucesso do Delta de Dirac em aplicações, por modelar impulsos instantâneos - como quando um taco de beisebol rebate uma bola - o matemático L. Schwartz foi bastante critico em relação à falta de fundamentação desse operador.
Traduzimos da referência L. Schwartz p. 79 (ao final desta Seção) duas frases dele:

"(...) As propriedades da função de Dirac são contraditórias e uma tal função não pode existir. (...) Naturalmente os físicos sabem muito bem que estão usando um símbolo e não uma verdadeira função."

Nesta Seção veremos que é possível dar uma fundamentação para a noção de Delta de Dirac, com base em noções do Cálculo e das noções de operadores lineares e espaços vetoriais.

Veremos que o Delta de Dirac é um exemplo de distribuição, ou seja, um operador sobre funções.

Espaços vetoriais e Espaço de funções teste »

Transformadas de Laplace e Aplicações

12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição

(Material Suplementar) Fundamentação do Delta de Dirac na Teoria de Distribuições