Tornar mais compreensível o Delta de Dirac

(Material Suplementar) Fundamentação do Delta de Dirac na Teoria de Distribuições


Na Seção O Delta de Dirac, degrau unitário e suas Transformadas de Laplace de modo informal introduzimos um conceito muito importante na Física-Matemática, a noção de Delta de Dirac, que tem as seguintes características:
\[\begin{cases} \delta( t ) = 0, \quad \forall t \neq 0 \\ \delta (0 ) = +\infty \\ \int_{-\infty}^{\infty} \, \delta(t)\, dt = 1 \end{cases} \]

Apesar do sucesso do Delta de Dirac em aplicações, por modelar impulsos instantâneos - como quando um taco de beisebol rebate uma bola - o matemático L. Schwartz foi bastante critico em relação à falta de fundamentação desse operador.
Traduzimos da referência L. Schwartz p. 79 (ao final desta Seção) duas frases dele:
"(...) As propriedades da função de Dirac são contraditórias e uma tal função não pode existir. (...) Naturalmente os físicos sabem muito bem que estão usando um símbolo e não uma verdadeira função."

Nesta Seção veremos que é possível dar uma fundamentação para a noção de Delta de Dirac, com base em noções do Cálculo e das noções de operadores lineares e espaços vetoriais.
Veremos que o Delta de Dirac é um exemplo de distribuição, ou seja, um operador sobre funções.





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Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos