A Fórmula de Euler para a Exponencial Complexa

Transformada de Laplace da Exponencial Complexa e suas aplicações


Nesta Seção vamos estender aos números Complexos $\mathbb{C}$ a propriedade de translação da Seção Translação no eixo $s$, Transformadas de Exponencias, Seno e Cosseno hiperbólicos .
Veremos a longo do Curso como será útil sair da reta $\mathbb{R}$ e passar ao plano $\mathbb{C}$.
Tudo começa com a notável fórmula:
Afirmação 1 (Fórmula de Euler): \[ e^{i \, t} = \cos(t) + i\, \sin(t),\quad \mbox{onde}\, i = \sqrt{-1} \]


Interpretação: A Fórmula de Euler nos permite pensar em \[\gamma(t) = e^{ i t}, \quad t\in \mathbb{R}\] como uma parametrização do círculo trigonométrico.

A Interação a seguir permite visualizar os pontos $e^{i t_0}$ (para cada $t_0$ fixado) como pontos do círculo unitário:

Decorre da Fórmula de Euler que:
Afirmação $1^{\prime}$:
\[ \cos(t) = \frac{e^{i t} + e^{- i t}}{2} \quad \mbox{e}\quad \sin(t) = \frac{e^{i t} - e^{- i t}}{2 i} \]


Observação: Para fixar na memória esses fatos, pode ser útil compará-los com as definições de seno e cosseno hiperbólicos.

Será útil observar que vale a seguinte estensão aos complexos $\mathbb{C}$ da Regra da Cadeia:
Afirmação 2 (Derivada da Exponencial Complexa): Se $a\in \mathbb{R}$, então vale
\[(e^{i a t })^{\prime} = i a \cdot e^{i a t},\quad \mbox{onde}\, i = \sqrt{-1} \]






Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos