Transformadas de Laplace justificadas e calculadas

Lista de Transformadas de Laplace justificadas


A seguir a Lista das principais Transformadas de Laplace estudadas neste Curso.
Nos parágrafos seguintes indicaremos pelo menos uma das Seções em que foram estudadas.
E apresentaremos Interações para conferi-las.
Pense nessa lista como "átomos" e use as Interações para calcular Transformadas de suas combinações "moleculares".

A Seção A Transformada Inversa de Laplace faz o caminho inverso desta Seção. Lá começa-se com a Transformada $F(s)$ e busca-se função $f(t)$ que tem \[\mathcal{L}( f(t) ) = F(s)\]
Na Tabela a seguir, o termo "Consulte" na coluna de Observações indica que há condições e hipóteses para aplicação correta da propriedade listada, que devem ser consultadas na Seção correspondente. As funções $f(t)$ em geral estão definidas para $t \geq 0$.

\begin{array}{|cccc|}
\hline \mbox{n.} & f(t) & \mathcal{L}( f(t) ) & {\scriptsize\mbox{Observações}} \\ \hline 1.& 1 & \frac{1}{s} & s > 0\\ \hline 2. & t & \frac{1}{s^2} & s > 0 \\\hline 3. & t^n & \frac{n!}{s^{n+1}} &n\in \mathbb{N} \\
\hline 4. & c_1 t^m + c_2 t^n & c_1\, \frac{m!}{s^{m+1}} + c_2\, \frac{ n!}{s^{n+1}} &{\scriptsize m,n\in \mathbb{N},c_1,c_2\in \mathbb{R}} \\
\hline 5. & e^{a t} & \frac{1}{s-a} & s > a \\ \hline 6. & e^{a t} \cdot g(t)& G(s-a) & {\scriptsize G(s)=\mathcal{L}(g)}\\\hline 7. & \sinh( a t ) & \frac{a}{s^2 - a^2} & s > a \\\hline 8. & \cosh( a t ) & \frac{s}{s^2 - a^2} & s > a \\
\hline 9. & e^{i\, a t} & \frac{1}{s - i a} & {\scriptsize i = \sqrt{-1}\in \mathbb{C}}\\ \hline 10. & e^{i a t} \cdot g(t)& G( s - i a) & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)} \\\hline 11. & \sin( a t ) & \frac{a}{s^2 + a^2} & \\\hline 12. & \cos( a t ) & \frac{s}{s^2 + a^2} & \\
\hline 13. & u(t) & \frac{1}{s} & {\scriptsize u(t)} \,{\scriptsize\mbox{Degrau unitário}} \\\hline 14. & u(t-t_0)& \frac{e^{- t_0 s}}{s} & t_0 > 0 \\\hline 15. & g(t-t_0)\cdot u(t-t_0) & e^{- t_0 s} \cdot G(s)& {\scriptsize G(s) =\mathcal{L}(g)}\\\hline 16. & g(t)\cdot u(t-t_0) & e^{- t_0 s} \cdot \mathcal{L}( g(t+t_0) ) &\\
\hline 17. & e^t & \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s^3} + \ldots = \frac{1}{s-1}& {\scriptsize \mbox{ Termo a termo}}\\ \hline 18. & \sin(t)& \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s^4} + \frac{1}{s^6} - \ldots = \frac{1}{s^2+1}& {\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\ \hline 19. & \cos(t) & \frac{1}{s} - \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^5} - \ldots = \frac{s}{s^2 +1} & {\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\ \hline 20. & \frac{e^t - 1}{t} &- \ln (1 - \frac{1}{s} ),\, s > 1& {\scriptsize\mbox{Termo a termo}}\\ \hline 21. & \frac{\sin(a t)}{t}& \arctan(\frac{a}{s}) & {\scriptsize\mbox{ Termo a ter.}}\,{\scriptsize s>a>0}\ \\\hline 22. & \frac{\sinh(t)}{t}& - \ln(\frac{s-1}{s+1})& {\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\
\hline 23. & \frac{2}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{-t^2}& e^{\frac{s^2}{4}} \cdot (1 - \mbox{erf}(\frac{s}{2}) ) & {\scriptsize\mbox{Não é termo a termo}} \\
\hline 24. & e^{t^2}& {\scriptsize\mbox{Não existe}} &\\
\hline 25. & J_0(t)& \frac{1}{\sqrt{1+s^2}}& {\scriptsize s > 1}\,{\scriptsize\mbox{Termo a termo}} \\
\hline 26. & \frac{1}{\sqrt{t}} & \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{s}} & {\scriptsize t, s > 0} \\ \hline 27. & \sqrt{t} &\frac{ \sqrt{\pi}}{2} \, s^{-\frac{3}{2}} & {\scriptsize t,s > 0} \\ \hline 28. & t^r &\frac{\Gamma( r+1 )}{s^{r+1}}& {\scriptsize r>- 1,\, s > 0}\\
\hline 29. & g^{\prime}(t) & s\cdot \mathcal{L}(g) - g(0) & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 30. & g^{\prime\prime}(t) & s^2\cdot \mathcal{L}(g(t)) - s\cdot g(0) - g^{\prime}(0) & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\\hline 31. & \int_0^t g(u)\, du & \frac{\mathcal{L}(g)}{s}&{\scriptsize\mbox{Consulte}} \\
\hline 32. & {\scriptsize\mbox{Si}}(t) := \int_0^t \frac{\sin(u)}{u} \, du & \frac{1}{s} \cdot \arctan(\frac{1}{s})& s>0 \\
\hline 33. & {\scriptsize\mbox{Shi}}(t) := \int_0^t \frac{\sinh(u)}{u} \, du & \frac{1}{2 s} \cdot \ln( \frac{1 + \frac{1}{s}}{1 - \frac{1}{s} } )& s>0 \\
\hline 34. & \frac{g(t)}{t} & \int_0^{+\infty} G(u)\, du & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)},\, {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 35. & t\cdot g(t) & - \frac{d G(s)}{ds } & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)},\, {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 36. & t^2 \cdot g(t) & \frac{d^2 G(s)}{ds^2 } & {\scriptsize G(s) = \mathcal{L}(g)},\, {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\ \hline 37. & {\scriptsize\mbox{T- Periódica}} & \frac{1}{1-e^{-s T}}\cdot \int_0^{T} f(t) \, e^{- s t}\, dt & {\scriptsize\mbox{Consulte}} \\
\hline 38. & \delta( t ) & 1 & {\scriptsize\mbox{Delta de Dirac}}\\
\hline 39. & \delta( t -t_0) & e^{- t_0 s} & {\scriptsize\mbox{Delta de Dirac}} \\
\hline 40. & g_1(t) * g_2(t) & \mathcal{L}(g_1(t)) \cdot \mathcal{L}(g_2(t)) & * \,\, {\scriptsize\mbox{Convolução }}\\
\hline 41. & \mbox{erf} (\sqrt{t})& \frac{1}{ s \sqrt{1 + s} } & {\scriptsize s>0}\\
\hline\end{array}

Por uma via indireta, na Seção Transformadas de Laplace em Equações Diferenciais Parciais trataremos do fato adicional:
\[42.\quad \mathcal{L}( 1 - \mbox{erf}( \frac{a}{ 2 \sqrt{t} }) ) = \frac{e^{- a \sqrt{s} }}{s}, \]onde $\mbox{erf}$ é a função erro.





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos