Uma descoberta teórica cheia de aplicações práticas

Apresenta a série de Livros-interativos da UFRGS

Uma descoberta teórica cheia de aplicações práticas

Motivações para o estudo das Transformadas de Laplace

As Transformadas de Laplace são um excelente exemplo da distância que pode separar a pesquisa básica de suas aplicações tecnológicas.
Wallis (1616-1703) e Hobbes (1588-1679) tiveram um debate acalorado, sobre a possibilidade de certas regiões infinitas terem área finita.
As Transformadas de Laplace são expressões matemáticas desse fato ! E são usadas por computadores para resolver de modo "mecânico" certas equações diferenciais de circuitos elétricos.

Quem poderia imaginar que o fato bizarro de que certas regiões infinitas têm área finita poderia ter tantas aplicações na teoria de circuitos elétricos do século XX ?

\[\scriptsize{\begin{array}{|c|c|c|}\hline \mbox{J. Wallis}& \mbox{P.S. Laplace} & \mbox{Kirchhoff} \\ \hline \mbox{sec. XVII-XVIII}& \mbox{sec. XVIII-XIX} & \mbox{Sec. XIX-XX} \\ \hline \mbox{Áreas} & \mbox{Integrais} & \mbox{Circuitos Elétricos} \\ \hline \end{array}}\]

A Matemática tem uma longa História e é obra coletiva dos mais diversos povos. A Geometria na Grécia, a Álgebra e Arimética dos Indianos e Árabes, o Cálculo na Europa, etc. Naturalmente isso faz que a Matemática seja expressa em linguagens diferentes, que parecem não se comunicar entre si.

Por isso é muito importante quando se descobrem teorias que unificam a Matemática ou teorias que conectam duas áreas supostamente distintas.

O Transformada de Laplace faz essa ponte entre áreas diferentes:

\[\scriptsize{\begin{array}{|c|c|c|}\hline \mbox{Equações Diferencias}& \mbox{Transformada} & \mbox{Álgebra } \\ \hline
\mbox{derivar}& \mapsto & \mbox{multiplicar} \\ \hline
\mbox{integrar}& \mapsto & \mbox{dividir} \\ \hline
\end{array}}\]

Neste Curso de Transformadas de Laplace e Aplicações poderemos tratar de funções que foram barradas nos Cursos de Cálculo: as funções descontínuas.
Por quê voltar a aceitar agora essas funções ? Para podermos modelar fenômenos reais que apresentam mudanças abruptas ou saltos, como o ligar/desligar de uma chave de tensão em um circuito elétrico.
Além disso, o próprio conceito de função - um dos termos mais usados em Ciências Exatas - será generalizado, para podermos tratar de conceitos importantes da Física, como os impulsos.

Esperamos que as novas técnicas sejam instrumentos úteis na modelagem matemática dos mais diversos fenômenos, principalmente de tipo descontínuo ou impulsivo. Bons estudos !