Uma descoberta teórica cheia de aplicações práticas

Motivações para o estudo das Transformadas de Laplace



As Transformadas de Laplace são um excelente exemplo da distância que pode separar a pesquisa básica de suas aplicações tecnológicas.
Wallis (1616-1703) e Hobbes (1588-1679) tiveram um debate acalorado, sobre a possibilidade de certas regiões infinitas terem área finita.
As Transformadas de Laplace são expressões matemáticas desse fato ! E são usadas por computadores para resolver de modo "mecânico" certas equações diferenciais de circuitos elétricos.
Quem poderia imaginar que o fato bizarro de que certas regiões infinitas têm área finita poderia ter tantas aplicações na teoria de circuitos elétricos do século XX ?

\[\scriptsize{\begin{array}{|c|c|c|}\hline \mbox{J. Wallis}& \mbox{P.S. Laplace} & \mbox{Kirchhoff} \\ \hline \mbox{sec. XVII-XVIII}& \mbox{sec. XVIII-XIX} & \mbox{Sec. XIX-XX} \\ \hline \mbox{Áreas} & \mbox{Integrais} & \mbox{Circuitos Elétricos} \\ \hline \end{array}}\]

A Matemática tem uma longa História e é obra coletiva dos mais diversos povos. A Geometria na Grécia, a Álgebra e Arimética dos Indianos e Árabes, o Cálculo na Europa, etc. Naturalmente isso faz que a Matemática seja expressa em linguagens diferentes, que parecem não se comunicar entre si.
Por isso é muito importante quando se descobrem teorias que unificam a Matemática ou teorias que conectam duas áreas supostamente distintas.

O Transformada de Laplace faz essa ponte entre áreas diferentes:
\[\scriptsize{\begin{array}{|c|c|c|}\hline \mbox{Equações Diferencias}& \mbox{Transformada} & \mbox{Álgebra } \\ \hline
\mbox{derivar}& \mapsto & \mbox{multiplicar} \\ \hline
\mbox{integrar}& \mapsto & \mbox{dividir} \\ \hline
\end{array}}\]

Neste Curso de Transformadas de Laplace e Aplicações poderemos tratar de funções que foram barradas nos Cursos de Cálculo: as funções descontínuas.
Por quê voltar a aceitar agora essas funções ? Para podermos modelar fenômenos reais que apresentam mudanças abruptas ou saltos, como o ligar/desligar de uma chave de tensão em um circuito elétrico.
Além disso, o próprio conceito de função - um dos termos mais usados em Ciências Exatas - será generalizado, para podermos tratar de conceitos importantes da Física, como os impulsos.
Esperamos que as novas técnicas sejam instrumentos úteis na modelagem matemática dos mais diversos fenômenos, principalmente de tipo descontínuo ou impulsivo. Bons estudos !





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos