A Integral da Transformada de Laplace

Derivada e Integral da Transformada de Laplace



Tivemos sucesso em calcular\[ \mathcal{L}( \frac{\sinh(t)}{t}) \quad \mbox{e}\quad \mathcal{L}( \frac{\sin(t)}{t}), \]usando expansões em séries de potências dessas funções.

Agora vamos apresentar outra forma de calcular Transformadas da forma \[\mathcal{L}(\frac{f(t)}{t})\]
A chave está na afirmação a seguir.
Note que, à direita da última linha da afirmação, aparece a Integral da própria Transformada de Laplace $F(s)$, onde deixamos a variavel $s$ como um limite de integração:
Afirmação 1: (Integral da Transformada de Laplace): Seja $f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ uma função contínua e de crescimento exponencial de ordem $\alpha$, com Transformada de Laplace \[F(s) = \mathcal{L}(f(t))\]Suponha que existe o limite lateral\[\lim_{t\to 0 +} \,\frac{f(t)}{t} \in \mathbb{R}\]Então para $s >0$:\[\mathcal{L}(\frac{f(t)}{t} ) = \int_s^{+\infty} F(u) \,du\]


No parágrafo a seguir vamos justificar a Afirmação 1 e depois empregá-la em Exemplos importantes.
As Interações permitirão conferir os Exemplos e fazer outros.





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Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

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