Transformada de Laplace da primeira Derivada

Transformadas de Laplace de derivadas e integrais


As Transformadas de Laplace farão alguns milagres: sob seu efeito, algumas equações diferenciais viram equações usuais (por exemplo, lineares) ou tornam-se equações diferenciais de ordem menor.
Isso será visto, por exemplo, nas Seções Transformadas de Laplace em Equações Diferenciais a coeficientes constantes e Transformada de Laplace de Equações Diferenciais lineares a coeficientes variáveis.
Mas, como pré-requisito, precisamos entender nesta Seção o que a Transformada faz com derivadas ou com a integral de uma função.
Começamos com a seguinte:
Afirmação 1 (Efeito sobre a derivada): Seja $f(t)$ uma função contínua na semireta $[0 ,+\infty)$, de crescimento exponencial de ordem $\alpha$. Suponha que a função $f^{\prime}(t)$ que seja contínua por partes. Então \[\mathcal{L}(f^{\prime}(t)) = s\cdot \mathcal{L}(f(t)) - f(0)\]


Exemplo 1: As funções seno e cosseno hiperbólicos verificam $\sinh(0)=0$ e $\sinh^{\prime}(t) = \cosh(t)$. Portanto tem que valer
\[ \mathcal{L}( \cosh(t) ) = s \cdot \mathcal{L}( \sinh(t) ) \]


As Interações dos parágrafos a seguir conferem o Exemplo 1 e suas generalizações.




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Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

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