Comparação entre Transformada de Laplace e Função Gama de Euler

Transformadas de expoentes gerais e a Função Gama de Euler



Na Seção Definição da Transformada de Laplace, primeiros exemplos e propriedades vimos que
\[\mathcal{L}(t^n ) = \frac{n!}{s^{n+1}}\]
Por outro lado, aprendemos na Seção A função especial chamada Função Gama de Euler do Curso de Equações Diferenciais que existe uma função importante $\Gamma (t)$ que interpola fatorais. Ou seja, está definida para $t$ gerais, mas para determinados valores de $t$ produz fatoriais. De fato:
\[\Gamma(n+1) = n!\]
Tanto a Transformada de Laplace quanto a função $\Gamma(t)$ são criadas através de integrais impróprias. Lembramos as duas definições:
Definição (Transformada de Laplace) A Transformada de Laplace de uma função $f(t)$ é dada para cada $s>0$ por
\[\mathcal{L}(f(t)) = \int_0^{+\infty} f(t) \, e^{-s t} \, dt\]

Definição: A Função Gama de Euler é definida para cada $t > 0$ fixado por \[\Gamma (t) := \int_0^{+\infty}\, x^{t-1}\cdot e^{- x} \, dx \]

Notação: Já que neste Curso usamos funções do tempo $t$, nessa Definição invertemos os papéis de $x$ com o de $t$ em relação àqueles da Seção A função especial chamada Função Gama de Euler.

A Interação a seguir permite visualizar o gráfico de função Gama na semireta $[0,+\infty)$ e avaliar a função em pontos escolhidos:

Nesta Seção vamos estabecer a relação precisa entre a função Gama e Transformada de Laplace. O objetivo é
Poder calcular Transformadas de Laplace de funções\[f(t)=t^r\]para qualquer expoente $r > -1$, a partir do conhecimento dos valores da Função Gama.





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos