Funções definidas por Partes (Colagens)

Transformadas de funções por partes, Degrau Unitário (Heaviside) e Translações em t


Nas Aplicações concretas (e em muitos exercícios) aparecem gráficos de funções $f: [0, +\infty)\to \mathbb{R}$ definidos por colagem de diversos gráficos de funções
\[f_1: [0, b_1)\to \mathbb{R},\quad f_2: [b_1, b_2)\to \mathbb{R} ,\quad f_3: [b_2, b_3)\to \mathbb{R}, \quad \ldots\]
São as chamadas funções definidas por partes (ou condicionalmente).
Alguns exemplos:
Exemplo 1: A função $f: [0,+\infty)\to \mathbb{R}$ definida por $2$ leis:\[\begin{cases} f(t) = t,\quad\quad\quad 0 \leq t < 1\\ f(t) \equiv 1 + t^2,\,\quad 1\leq t \end{cases}\]

A Interação a seguir mostra uma porção do gráfico do Exemplo 1 (com uma descontinuidade em $t=1$):

Exemplo 2: A função $f: [0,+\infty)\to \mathbb{R}$ definida por $3$ leis:\[\begin{cases} f(t) = t,\quad\quad\quad 0 \leq t < 1\\ f(t) \equiv 2 t,\,\quad\quad\, 1\leq t < 2 \\ f(t) = 7 - t^2,\quad 2\leq t \end{cases}\]

A Interação a seguir mostra uma porção do gráfico da função do Exemplo 2 (com duas descontinuidades, em $t=1$ e em $t=2$):

Exemplo 3: A função $f: [0,+\infty)\to \mathbb{R}$ definida por $4$ leis:\[\begin{cases} f(t) = 2 t,\quad\quad\quad 0 \leq t < 1\\ f(t) \equiv 2,\,\quad\quad\quad 1\leq t < 2\\ f(t)= - 2 t + 6,\,\, \,\,\, 2\leq t < 3 \\ f(t)\equiv 1,\,\quad\quad\quad 3\leq t \end{cases}\]

A Interação a seguir mostra uma porção do gráfico do Exemplo 3 (com apenas uma descontinuidade em $t=3$):

No parágrafo a seguir calcularemos as Transformadas de Laplace de funções por partes, implementando diretamente as Definições em Interações. Depois, vamos reescrever "em forma fechada" as funções dadas por parte, através da função degrau unitário (Heaviside) e voltar a calcular suas Transformadas.





Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

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