Integrais de produtos usuais e do produto de convolução

Transformada de Laplace do produto de Convolução


Em geral, a integral do produto usual de funções não é o produto das integrais.
Por exemplo,
\[\int_0^t \, u\cdot u \, du = \frac{t^3}{3} \neq \frac{t^4}{4} = \int_0^t \, u \,du \cdot \int_0^t \, u \,du\]
De fato, existe até mesmo uma técnica própria para calcular (algumas) integrais de produtos de funções, cf. Seção Integração por partes do Curso de Cálculo Integral em uma variável.
Como as Transformadas de Laplace são integrais, elas também não funcionam bem em relação ao produto usual $f\cdot g$ de funções.
Exemplo 1: \[\mathcal{L}(t\cdot t) \neq \mathcal{L}(t)\cdot \mathcal{L}(t)\]


Mas vejamos o que acontece quando trocamos o produto usual pelo produto de convolução $f*g$, introduzido na Seção O conceito de produto de Convolução:
Exemplo 2: Se $f(t)= t$ e $g(t)=t$, então \[\mathcal{L}(t * t) = \mathcal{L}(t)\cdot \mathcal{L}(t)\]


O que veremos nesta Seção é que o produto de convolução $f*g$ realiza esse "milagre":\[\mathcal{L}( f*g ) = \mathcal{L}(f) \cdot \mathcal{L}(g)\]

Importantes aplicações desse fato serão dadaa no estudo da função Resposta a Estímulo, na Seção Transformadas de Convoluções em Equações Diferenciais.




Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos