Equações envolvendo Funções e suas Integrais

Transformadas de Laplace em Equações Integrais


Quando equacionamos uma função e sua variação instantânea - ou derivada -, criamos uma equação diferencial
\[P( t, y(t) , y^{\prime}(t) ) = 0\]
Por exemplo, a equação diferencial linear
\[ y(t) - y^{\prime} - 1 = 0\]
tratada na Seção Equações diferenciais lineares de primeira ordem a coeficientes constantes do Curso de Equações Diferenciais.
Mas também pode ser interessante equacionar uma função e sua integral, criando uma equação integral:
\[P( t, y(t) , \int\, y(t) \, dt ) = 0\]
Asssim como as Equações Diferenciais, as Equações Integrais formam uma vasto domínio.
Exemplos básicos de equações integrais são as chamadas equações integrais lineares de V. Volterra:
\[y(t) = h(t) + \int_a^t y(u) K(u,t) \, dx,\]onde a função $K(u,t)$ é chamada de núcleo.

No parágrafo a seguir veremos como o uso das Tranformadas de Laplace e da operação de convolução podem ser úteis para resolver equações integrais.




Cursos

Aulas

01 Motivações
02 Definição da Transformada de Laplace e primeiros exemplos
03 Laplace da Exponencial usual, do Seno e Cosseno Hiperbólicos
04 Laplace da Exponencial complexa, Seno e Cosseno usuais
05 Transformadas de Funções por Partes e Degrau Unitário (Heaviside)
06 Condições de Existência e Transformadas de Séries de Potências
07 Transformadas de Expoentes gerais e a Função Gama
08 Transformada da Derivada e da Integral
09 Significados da Derivada e Integral da Transformada
10 Funções Periódicas e suas Transformadas de Laplace
11 Delta de Dirac e sua Transformada de Laplace de modo informal
12 Fundamentação do Delta de Dirac como Distribuição
13 A Convolução (em calculadoras, gráficos e animações)
14 Transformadas de Laplace de Convoluções
15 Lista das Transformadas justificadas e calculadas
16 A Inversa da Transformada de Laplace
17 Equações Diferenciais a coeficientes constantes
18 Aplicação a Circuitos Elétricos RC
19 Aplicação a Circuitos Elétricos LC
20 Aplicação a Circuitos Elétricos RLC
21 Circuitos R com duas Malhas e sistemas de equações lineares usuais
22 Circuitos RL com duas Malhas e sistemas de equações diferencias
23 Circuito RLC com três Malhas e sistemas diferenciais-integrais
24 Equações Diferenciais a coeficientes variáveis (Laguerre, Hermite, Bessel)
25 Aplicação às Equações Diferenciais (função Resposta a Estímulo)
26 Transformadas em Equações Integrais
27 Aplicação a Equações Parciais
28 Referências

Tópicos